マニピュレータの軽量化を目的とした時間の媒介変数の最適化による軌道生成
Trajectory Generation for Weight Reduction of Manipulator by Optimization of Time Parameter

日比野圭歩, 遠藤央, 筒井幸雄 / Kaho Hibino, Mitsuru Endo, Yukio Tsutsui

第 30 回ロボティクスシンポジア講演論文集 30th ロボシン

5C3

背景 – Background

近年、マニピュレータの省資源化・省エネルギー化を目指し、複合領域設計最適化（MDO）[1]の適用が進められている。従来は、設置位置やリンク構造の最適化を中心に軽量化が検討されてきた[3]が、軌道生成を含めた最適化には十分に踏み込まれていなかった。特に、一般的な軌道生成手法では、精度を保つために自由度の高いモデルが必要となり、設計変数の増大による計算コストが課題だった。そこで本研究では、時間の媒介変数に着目し、設計変数を抑えながら精度を維持する軌道生成手法を提案する。これにより、エネルギー消費を最小化しつつ、MDO全体を通じたマニピュレータのさらなる軽量化を実現することを目的とする。

In recent years, multidisciplinary design optimization (MDO)[1] has advanced to achieve resource and energy savings for manipulators. While previous studies[3] have mainly focused on optimizing installation positions and link structures for weight reduction, trajectory generation has not been fully addressed. Conventional trajectory generation methods require highly flexible models to maintain accuracy, leading to an increase in design variables and computational cost. To overcome this drawback, this study proposes a new trajectory generation method focusing on optimizing time parameters, which reduces the number of design variables while maintaining accuracy. The objective is to minimize energy consumption and reduce the manipulator’s weight by integrating the proposed method into the overall MDO process.

手法 – Method

本研究では、マニピュレータの省エネルギー・軽量化を目指すMDO（Multidisciplinary Design Optimization)[1] に、従来考慮されていなかった軌道生成の最適化を組み込んだ[4]。従来のMDOアーキテクチャ（Fig.1）では、設置位置やリンク構造、駆動系の設計が対象とされていたものの、動作中に発生するトルクやエネルギー消費を直接的に低減するための軌道設計はされていなかった。このため、運動時のエネルギー消費をさらに抑制する余地が存在していた。

In this study, we incorporated trajectory optimization, which had not been sufficiently addressed, into Multidisciplinary Design Optimization (MDO) [1] to achieve energy savings and weight reduction for manipulators[4]. The conventional MDO architecture (Fig.1) focused on optimizing installation positions, link structures, and drive systems. However, trajectory design was not included to reduce torque and energy consumption during motion directly. As a result, there was still room for improvement in minimizing energy consumption during operation.

Fig.1 Architecture diagram of MDO in this study

そこで本研究では、与えられた手先経路上の進行度合いを表す媒介変数 $s \in [0,1]$ を導入し、これを時間関数 $s(t)$ として最適化する新たな軌道生成手法を提案する。従来手法のように手先座標や関節角度を直接補間するのではなく、媒介変数のみを設計変数とすることで、設計自由度を抑えつつ高精度な軌道最適化を実現する。具体的には、媒介変数の時系列データ ${(t, s)}$ をスプライン補間し、任意時刻における手先位置 $\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}(s(t))$ を得る方法を採用した。

各時刻における関節トルク $\boldsymbol{\tau}(t)$ は、逆運動学および逆動力学モデルを用いて、以下(1)により算出される。

To address this issue, we propose a novel trajectory generation method that introduces a parametric variable $s \in [0,1]$, representing the progress along the given end-effector path, and optimizes it as a time function $s(t)$. Unlike conventional methods that directly interpolate end-effector positions or joint angles, our method uses only the parametric variable as the design variable, achieving high-precision trajectory optimization while reducing the degrees of freedom. Specifically, we interpolate the time-series data ${(t, s)}$ using a spline function to obtain the end-effector position $\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}(s(t))$ at any time.

The joint torque $\boldsymbol{\tau}(t)$ at each time, inverse kinematics and inverse dynamics are calculated according to (1).

\[\boldsymbol{\tau}(t) = \mathbf{M}(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{G}(\mathbf{q})\]

ここで、$\mathbf{q}$ は関節角度、$\mathbf{M}$ は質量行列、$\mathbf{C}$ は遠心力・コリオリ力項、$\mathbf{G}$ は重力項を表す。

最適化問題は、運動完了時刻 $t_f$ までの総消費エネルギー（各関節トルクと角速度の積分）を最小化する形で定式化される。設計変数は媒介変数補間点群 $\mathbf{x}$ とし、以下(2)で表される。

Here, $\mathbf{q}$ represents the joint angles, $\mathbf{M}$ is the mass matrix, $\mathbf{C}$ is the centrifugal and Coriolis terms, and $\mathbf{G}$ is the gravity term.

The optimization problem is formulated to minimize the total energy consumption, defined as the integral of the product of joint torque and joint velocity up to the final time $t_f$, as shown in (2).

\[\min_{\mathbf{x}} \int_0^{t_f} \left| \boldsymbol{\tau}(t)^{\mathrm{T}} \dot{\mathbf{q}}(t) \right| \, dt \quad \text{subject to} \quad \mathbf{x} \in [0,1]^N\]

また、設計変数から媒介変数への変換は、以下(3)に従う。

The transformation from the design variables to the parametric variables follows (3).

\[s_i = s_{i-1} + (1 - s_{i-1}) x_i\]

このようにして、媒介変数 $s(t)$ を通じて軌道形状を間接的に最適化し、消費エネルギーを最小化するアプローチを実現した。探索アルゴリズムにはDIRECT法（DIvided RECTangle method）[8]を用い、探索効率と安定性の両立を図っている。

Through this approach, the trajectory shape is indirectly optimized via the parametric function $s(t)$, achieving energy minimization. The optimization algorithm employed is the DIRECT method (DIvided RECTangle method)[8], which ensures both high exploration efficiency and convergence stability.

検証結果 – Result

提案した媒介変数を用いた軌道最適化手法の検証として、6軸シリアルリンクマニピュレータに対して水平直線経路を設定し、軌道のエネルギー消費を比較した。結果として、従来の5次多項式補間に比べ、提案手法では前半に加速を集中させることで、トルクを効率よく分散し、総消費エネルギーを大幅に削減できることが示された。また、駆動時間にかかわらず、提案手法の方が一貫してエネルギー消費が小さいことが確認された。

さらに、提案した軌道最適化手法をMDOに統合し、リンク長やモータ仕様の同時最適化を実施した。結果として、5次多項式補間を用いた場合に比べ、総質量が最大で約5%軽量化されることが確認され、特にリンク構造の設計においてより有利な選択がなされる傾向が見られた。このことから、媒介変数最適化を取り入れることで、従来のMDOに対して更なる省エネルギー化・軽量化効果が期待できることが示唆された。

To validate the proposed trajectory optimization method using a parametric variable, experiments were conducted on a six-axis serial link manipulator following a horizontal straight-line path. The results showed that, compared to conventional fifth-order polynomial interpolation, the proposed method significantly reduced total energy consumption by concentrating acceleration in the early phase and distributing torque more effectively. It was also confirmed that the proposed method consistently achieved lower energy consumption across different traveling times.

Furthermore, the proposed trajectory optimization method was integrated into the MDO framework, and simultaneous optimization of link lengths and motor specifications was carried out. As a result, compared to the case using fifth-order polynomial interpolation, the total mass was reduced by up to approximately 5%, with more advantageous link structure designs selected. These findings suggest that incorporating parametric variable optimization into MDO can further enhance energy efficiency and weight reduction beyond conventional approaches.

結論 – Conclusion

本研究では、媒介変数を用いた軌道最適化手法を提案し、マニピュレータの消費エネルギー削減と軽量化への効果を示した。提案手法は、設計変数を抑えながら精度を維持し、駆動時のエネルギー消費を低減できることを検証した。また、複合領域設計最適化（MDO）への統合によって、リンク設計やモータ選定においても軽量化効果を発揮できることを確認した。今後はさらに実機レベルでの検証を進め、より実用的な設計支援システムの構築を目指す。

In this study, we proposed a trajectory optimization method based on a parametric variable and demonstrated its effectiveness in reducing energy consumption and achieving weight reduction for manipulators. The proposed method was validated to reduce energy consumption during operation while maintaining accuracy with a reduced number of design variables. Furthermore, by integrating the method into the Multidisciplinary Design Optimization (MDO) framework, it was confirmed that the approach also contributed to weight reduction through link and motor optimization. Future work will focus on extending the validation to actual hardware and developing a more practical design support system.

This work was supported by JSPS KAKENHI Grant Number 23K03755.

参考文献 - Reference

(1) Mykel J. Kochenderfer, Tim A. Wheeler, 岸本祥吾, 島田直樹, 清水翔司, 田中大毅, 原田耕平, 松岡勇気, 『最適化アルゴリズム』, 共立出版, pp.345–363, 2022.

(3) 日比野圭歩，遠藤央，中村裕司，田中真平, 「産業用ロボットの軽量化を目的とした作業領域と駆動機構の初歩的複合領域最適化」, ロボティクス・メカトロニクス講演会講演概要集 2023, 2023年.

(4) 日比野圭歩，遠藤央，Zexin Shan，筒井幸雄, 「可操作性楕円体の異方性を考慮した指標に基づく2リンクマニピュレータを対象とした軌道最適化」, 第42回日本ロボット学会学術講演会 1I4-05, 2024年.

(8) Donald R. Jones, C. D. Perttunen, B. Stuckman, “Lipschitzian optimization without the Lipschitz constant,” Journal of Optimization Theory and Applications, vol.79, no.1, pp.157–181, 1993.

The content on this page is not freely available for reproduction or redistribution. Unauthorized use may lead to legal consequences.