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筒井・遠藤研究室
東京科学大学
Institute of Science Tokyo

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可操作性楕円体の異方性を考慮した指標に基づく2リンクマニピュレータを対象とした軌道最適化

日比野圭歩, 遠藤央, 中村裕司 / Kaho Hibino, Mitsuru Endo, Hiroshi Nakamura

第42回 日本ロボット学会学術講演会 RSJ2024

1I4-04

背景 – Background

一般に人協働ロボットは汎用機として製造され，ユーザが実際に使用する際には性能がオーバースペックである場合が多い．そこで本研究では，設計プロセスに複合領域設計最適化(MDO: Multidisciplinary Design Optimization) [1]を用いてマニピュレータ全体の質量最小化を目指す．本研究ではこれまでに，幾何学的領域と動力学的領域の2領域に着目し，可操作度を最大化するような設計位置などを最適化した[2]．しかし，可操作度はスカラー量であり運動方向を考慮できないため，軌道方向を考慮した指標を提案する．

Collaborative robots are generally designed as general-purpose machines, often resulting in over-specification when used in actual applications. In this study, we aim to minimize the overall mass of the manipulator by incorporating Multidisciplinary Design Optimization (MDO) [1] into the design process. Our previous research has focused on two domains—geometric and dynamic—and optimized design parameters to maximize manipulability [2]. However, since manipulability is a scalar quantity that does not account for motion direction, we propose a new metric that considers trajectory direction.

手法 – Method

1　可操作度と可操作性楕円体 / Manipulability and the Manipulability Ellipsoid

可操作度 $w$ は，マニピュレータの能力を定量的に示す指標として提案され，ヤコビ行列から導出される．

\[w = \sqrt{\det \boldsymbol{J} \boldsymbol{J}^T}\]

ヤコビ行列 $\boldsymbol{J}$ は，関節速度 $\dot{\boldsymbol{q}}$ から手先速度 $\dot{\boldsymbol{p}}$ への変換行列であり，可操作度はヤコビ行列の行列式の大きさである．よって，可操作度は関節空間から手先空間へ変換される時の空間の拡大率である．

一方で可操作性楕円体は，マニピュレータの手先がそれぞれの方向にどの程度操作しやすいかを示す指標であり，ヤコビ行列の特異値分解によって導出される．

\[\dot{\boldsymbol{p}}^T \left( \boldsymbol{J}^+\right)^T\dot{\boldsymbol{p}} \leq 1 \cap \dot{\boldsymbol{p}} \in \mathrm{Range}(\boldsymbol{J})\]

可操作度は可操作性楕円体の体積に比例する指標であるが，方向成分が考慮されない．そこで，軌道の方向を考慮した可操作性楕円体に基づく指標DMIを提案する．

Manipulability $w$ is a metric proposed to quantitatively evaluate a manipulator’s capability and is derived from the Jacobian matrix.

\[w = \sqrt{\det \boldsymbol{J} \boldsymbol{J}^T}\]

The Jacobian matrix $\boldsymbol{J}$ represents the transformation from joint velocity $\dot{\boldsymbol{q}}$ to end-effector velocity $\dot{\boldsymbol{p}}$ . Manipulability is determined by the determinant magnitude of the Jacobian matrix, meaning it represents the spatial expansion ratio when converting from joint space to end-effector space.

On the other hand, the manipulability ellipsoid is a metric that describes how easily the manipulator can move in different directions. It is derived via singular value decomposition (SVD) of the Jacobian matrix and is expressed as follows:

\[\dot{\boldsymbol{p}}^T \left( \boldsymbol{J}^+\right)^T\dot{\boldsymbol{p}} \leq 1 \cap \dot{\boldsymbol{p}} \in \mathrm{Range}(\boldsymbol{J})\]

While manipulability is proportional to the volume of the manipulability ellipsoid, it does not consider directional components. To address this, we propose a Directional Manipulability Index (DMI) based on the manipulability ellipsoid that takes trajectory direction into account.

2　DMI(Directional Manipulability Index)

ヤコビ行列$\boldsymbol{J}$がマニピュレータの手先に展開する楕円体の軌道方向成分を抽出することで，軌道方向にマニピュレータを駆動する関節角速度ベクトルによる手先速度ベクトルを導出可能であり，軌道方向の動かしやすさを評価可能な指標となると考える．ここで，媒介変数 $s$ を導入し，軌道の時間に依存する要素を除いた経路ベクトル $r(s)\in\mathbb{R}^m$ を考える．$r(s)$ を $s$ について微分して得られる $\boldsymbol{J}_r$ は，手先空間と媒介変数空間をつなぐヤコビ行列であるといえる．

\[\frac{dr(s)}{ds} = \boldsymbol{J}_r\]

図1に，各空間同士のヤコビ行列での変換を示す．これによって，関節空間から媒介変数空間への変換は次式で示される．

\[ds = {\boldsymbol{J}_r}^+ \boldsymbol{J} d\boldsymbol{q}\]

この媒介変数の変化量を用いて，経路方向の可操作性を評価する新たな指標DMI(Directional Manipulability Index) $\hat{w}_m$ を提案する．

\[\hat{w}_m = \sqrt{ {\boldsymbol{J}_r}^+ \boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^T { {\boldsymbol{J}_r}^+}^T }\]

これは，媒介変数空間での可操作度を評価するものであり，手先空間での可操作性楕円体の経路方向の弦の長さに一致する．

図1 関節空間と手先空間と媒介変数空間の変換関係 / Transformation Relationships Among Joint Space, End-Effector Space, and Parametric Space

By extracting the trajectory direction component from the manipulability ellipsoid formed by the Jacobian matrix $\boldsymbol{J}$, we can derive the end-effector velocity vector that results from the joint angular velocity vector driving the manipulator along the trajectory. This enables the evaluation of the ease of motion in the trajectory direction.

To remove time-dependent elements from the trajectory, we introduce a parametric variable $s$ and define a path vector $r(s) \in \mathbb{R}^m$. The Jacobian matrix $\boldsymbol{J}_r$ , obtained by differentiating $r(s)$ with respect to $s$, represents the transformation between the end-effector space and the parametric space.

Figure 1 illustrates the transformations between different spaces via Jacobian matrices. The transformation from joint space to parametric space is given by:

\[ds = {\boldsymbol{J}_r}^+ \boldsymbol{J} d\boldsymbol{q}\]

Using this parametric variation, we propose a new metric, the Directional Manipulability Index (DMI) $w^m$, to evaluate manipulability in the trajectory direction:

\[\hat{w}_m = \sqrt{ {\boldsymbol{J}_r}^+ \boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^T { {\boldsymbol{J}_r}^+}^T }\]

This index quantifies manipulability in the parametric space and corresponds to the chord length of the manipulability ellipsoid in the trajectory direction within the end-effector

検証結果 – Result

提案指標を用いて，2リンクマニピュレータを対象として設置位置を最適化する．本稿での軌道最適化の最小化問題を以下に示す．

\[\mathrm{minimize}_{(x,y)} ~~ N\sum^N_{i=1} \frac{1}{\hat{w}_{m,i}}\] \[\mathrm{subject~to} ~~ x \in [x_\mathrm{min}, x_\mathrm{max}], y\in[y_\mathrm{min},y_\mathrm{max}]\]

$(x,y)$ はグローバル座標系におけるマニピュレータのベース位置の絶対座標，$N\in\mathbb{Z}$ は目標経路のデータ数，$\hat{w}_{m,i}$ は経路上の $i$ 番目の点における可操作性指標である．$(x,y)$ を設計変数として目標経路の各データ点での可操作性指標の平均値の逆数を最小化し，可操作性指標の平均値が最大となる$(x,y)$ を得る．

図2に，円弧軌道を与えたときのマニピュレータ位置の最適化結果を示す．右図が可操作度を指標に用いたとき，左図は提案指標DMIを用いたときの結果である．右図は，可操作性楕円体が最大となるような位置に最適化されているのに対して，左図では軌道方向と可操作性楕円体の長軸と一致するように最適化されている．結果として，最も手先方向の力の出やすい位置に最適化できており，提案指標が有効であると考えられる．

図2　円弧軌道におけるマニピュレータ位置の最適化結果 / Optimization Results of Manipulator Position for a Circular Trajectory

Using the proposed metric, we optimize the placement of a 2-link manipulator. The minimization problem for trajectory optimization in this study is formulated as follows:

\[\mathrm{minimize}_{(x,y)} ~~ N\sum^N_{i=1} \frac{1}{\hat{w}_{m,i}}\] \[\mathrm{subject~to} ~~ x \in [x_\mathrm{min}, x_\mathrm{max}], y\in[y_\mathrm{min},y_\mathrm{max}]\]

Here, $(x,y)$ represents the absolute coordinates of the manipulator’s base position in the global coordinate system. $N \in \mathbb{Z}$ denotes the number of data points along the target trajectory, and $\hat{w}_{m,i}$ is the manipulability index at the $ i $-th point on the trajectory. By treating $(x,y)$ as the design variables, we aim to minimize the reciprocal of the average manipulability index along the trajectory, thereby maximizing the average manipulability index at the optimal base position $(x,y)$.

Figure 2 illustrates the optimization results for the manipulator’s base position when following a circular trajectory. The right figure shows the results using the conventional manipulability index, while the left figure presents the results obtained with the proposed Directional Manipulability Index (DMI). In the right figure, the optimization places

結論 – Conclusion

本稿では，軌道方向を考慮した可操作性指標としてDMIを提案した．また，2リンクマニピュレータを対象としてDMIを用いてマニピュレータの設置位置を最適化した．従来指標と比較して，DMIでは軌道方向と可操作性楕円体の長軸方向が一致した位置に最適化されていることを確認した．今後は，エネルギー指標への拡張やMDOへの適用を考えている．

In this study, we proposed the Directional Manipulability Index (DMI) as a manipulability metric that considers trajectory direction. We applied DMI to optimize the base position of a 2-link manipulator.

Compared to conventional metrics, we confirmed that DMI optimizes the manipulator’s placement such that the major axis of the manipulability ellipsoid aligns with the trajectory direction.

For future work, we plan to extend the proposed metric to energy-based indices and apply it to Multidisciplinary Design Optimization (MDO).

This work was supported by JSPS KAKENHI Grant Number 23K03755.

参考文献 - Reference

[1] Evin J. Cramer, J. E. Dennis, Jr., Paul D. Frank, Robert Michael Lewis, and Gregory R. Shubin, Problem Formulation for Multidisciplinary Optimization, SIAM Jornal on Optimization, Vol.4, Issue.4, 1994, https://doi.org/10.1137/0804044.

[2] 日比野圭歩, 遠藤央, 中村裕司, DIRECT法を用いた人協働ロボットを対象とした複合領域設計最適化の高速化, 第24回 計測自動制御学会システムインテグレーション部門講演会, 3A1-05, 2023.

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