平均トルクを制約条件に持つトポロジー最適化を用いた電磁モータ回転子鉄心の軽量設計
Lightweight Design of Rotor Core of Electromagnetic Motors using Topology Optimization with Average Torque as a Constraint

源元 颯人, 遠藤 央, 中村 裕司, 田中 真平, 野口 孝浩, Hayato Minamoto, Mitsuru Endo, Hiroshi Nakamura, Shimpei Tanaka, Takahiro Noguchi

第23回システムインテグレーション部門講演会 SI2022

3P3-A06

Makuhari Messe, December 14- 16, 2022.

• T2R2

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背景 - Background

生産設備の軽量化による省エネルギー化や衝突安全性の向上のため，生産設備を構成する要素の1つである電磁モータの軽量化を目指す．電磁モータの軽量化手法としてトポロジー最適化を用いる．これまで本研究では，質量を最小化する目的関数と，平均トルクを最大化する目的関数を重み付け和で結合して単目的の関数とすることで，軽量化と高トルク化を目指した．結果として，目的関数の重みによって異なる，低質量かつ低トルクな構造や，高質量かつ高トルクな構造が得られた[1]．

本稿では，生産設備で用いる電磁モータの設計への適用を考え，目標トルクを出力可能である電磁モータの軽量設計を目指す．前述の手法[1]を利用すると，目標トルクが出力可能なモータ構造を得るまで，設計者が試行錯誤的に目的関数の重みを設定する必要がある．時間的コストがかさむばかりか，設計者の経験による判断に依存し最適な構造が得られない場合も考えられる．そこで本稿では，最適化の制約条件として，平均トルクが目標トルク以上となる条件を含めることで，設計者の試行錯誤的な設定を要しない，目標トルクを出力可能な電磁モータの軽量設計を試みる．

To reduce the weight of production equipment to save energy and improve crash safety, we aim to reduce the weight of electromagnetic motors, which are one of the components of production equipment. Topology optimization is used as a weight-reduction method for electromagnetic motors. In this study, an objective function to minimize the mass and an objective function to maximize the average torque were combined by weighted sums to form a single objective function. As a result, low-mass and low-torque structures and high-mass and high-torque structures were obtained, depending on the weight of the objective function [1].

In this paper, we consider the application of electromagnetic motors to the design of production equipment and aim to achieve a lightweight design of electromagnetic motors capable of outputting the target torque. Using the method above [1], the designer must set the objective function weights by trial and error until a motor structure capable of outputting the target torque is obtained. Not only is this time-consuming and costly, but it is also dependent on the designer’s experienced judgment, and the optimal structure may not be obtained. Therefore, this paper attempts to design a lightweight electromagnetic motor that can output the target torque without requiring the designer’s trial-and-error setting by including the condition that the average torque is greater than or equal to the target torque as a constraint condition for optimization.

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手法 - Method

図1に遺伝的アルゴリズムによるトポロジー最適化の流れを示す．ここで，コーディング形式は正規化ガウス関数ネットワークによるコーディング[2]とし，遺伝的アルゴリズムはシンプレクス交叉[3]とする．

Figure 1 shows the flow of topology optimization by genetic algorithm. Here, the coding format is coding with a normalized Gaussian function network [2], and the genetic algorithm is simplex crossover [3].

Fig.1 トポロジー最適化のアルゴリズム / Algorithm for topology optimization

目的関数を次式のように定める．

The objective function is defined as follows

\[\mathrm{minimize} ~~ \frac{M_i}{M_{ref}} + \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mathrm{if}~ \tau_{ave,i} \geq \tau_{des} \\ K \left( 1 - \frac{\tau_{ave,i}}{\tau_{des,i}} \right) & \mathrm{otherwize} \end{array} \right.\]

• $K$: ペナルティー関数のゲイン / Gain of the penalty function
• $M_i$: 個体 $i$ における固定子鉄心の質量 / Mass of the $i^\mathrm{th}$ stator core
• $M_{ref}$: 質量を無次元化するための定数 / Mass constant for the generalization
• $\tau_{ave,i}$: 個体 $i$ における平均トルク / Average torque of the $i^\mathrm{th}$ individual
• $\tau_{des}$: 目標トルク / Target torque

ここで，第1項は質量を最小化する目的関数であり， 第2項は平均トルクが目標トルク以上となるようにするペナルティー関数である．平均トルクが目標トルクより低い場合は線形にペナルティーを加算する．

図2は電気学会Dモデル[4]の断面図を示す．電気学会Dモデルをベースモデルとする．図3の赤色領域は設計領域を示す．目標トルク$\tau_{des}$をベースモデルの平均トルクとし，設計領域における回転子鉄心の構造を最適化する．

The first term is the objective function to minimize the mass, and the second term is a penalty function to ensure that the average torque is greater than or equal to the target torque. If the average torque is lower than the target torque, the penalty is added linearly.

Figure 2 shows a cross-sectional view of the IEEJ D model [4]. The IEEJ D model is used as the base model. The red area in Figure 3 indicates the design region. The target torque $\tau_{des}$ is the average torque of the base model, and the structure of the rotor core in the design region is optimized.

Fig.2 電気学会Dモデルの1/4断面図 / 1/4 cross-sectional view of IEEJ D-model

Fig.3 設計領域 / Design area

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結果 - Result

図4にゲイン $K$ ごとの最適化結果における回転子鉄心の質量と平均トルクを示す．また，図5にゲイン $K$ ごとの最適化結果における回転子形状を示す．ゲイン $K$ が小さい場合，回転子鉄心がほとんど存在せず，平均トルクが目標トルクに対し小さい形状が得られた．一方で，ゲイン $K$ が十分に大きい場合，目標トルク近傍の平均トルクである軽量な構造を得ることができた．これより，本手法はゲイン $K$ を設計者が設定する必要があるが，ゲイン $K$ が十分に大きい値であれば目標形状を得られると言える．

Figure 4 shows the mass and average torque of the rotor core for each gain $K$. Figure 5 shows the rotor geometry for each gain $K$. When the gain $K$ is small, the rotor core is almost nonexistent and the average torque is small compared to the target torque. For small gain $K$, the rotor core is almost nonexistent and the average torque is small compared to the target torque. On the other hand, when the gain $K$ is sufficiently large, a lightweight structure with an average torque near the target torque is obtained. From this, it can be said that this method can obtain the target shape if the gain $K$ is sufficiently large, although the gain $K$ must be set by the designer.

Fig.4 ゲインK ごとの最適化結果における回転子鉄心質量と平均トルク / Rotor core mass and average torque for optimization results for each gain K

Fig.5 ゲイン K ごとの最適化結果における回転子形状 / Rotor shape in optimization results for each gain K

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結論 - Conclusion

設計者に依存しない目標トルクを出力可能な電磁モータの軽量設計のため，目的関数に質量を陽に含み，ペナルティー関数として制約条件に平均トルクを含む最適化を提案した．回転子鉄心を対象に最適化したところ，目標トルクと同等の平均トルクを有する軽量な回転子鉄心の構造が得られた．

For the lightweight design of electromagnetic motors capable of outputting a designer-independent target torque, we proposed an optimization that explicitly includes mass in the objective function and average torque in the constraints as a penalty function. Optimization for the rotor core resulted in a lightweight rotor core structure with an average torque equivalent to the target torque.

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参考文献 - Reference

[1] 源元颯人，遠藤央，中村裕司，田中真平，野口孝浩，“軽量化のためのトポロジー最適化を用いた電磁モータにおける回転子鉄心の最適設計”，日本機械学会 ロボティクス・メカトロニクス講演会2022 in Sapporo (2022)，2A2-M09.

[2] 佐藤 孝洋, 五十嵐 一, 高橋 慎矢, 内山 翔, 松尾 圭祐, 松橋 大器, “トポロジー最適化による埋込磁石同期モータの回転子形状最適化”, 電気学会論文誌Ｄ（産業応用部門誌） (2015), Vol. 135, No.3, pp. 291-298.

[3] 樋口 隆英, 筒井 茂義, 山村 雅幸, “実数値GAにおけるシンプレクス交叉の提案”, 人工知能学会論文誌 (2001), Vol. 16, No.1, pp. 147-155.

[4] 電気学会回転機のバーチャルエンジニアリングのための電磁界解析技術調査専門委員会, “回転機のバーチャルエンジニアリングのための電磁界解析技術”, 電気学会技術報告 (2000), No.776 , pp.1-58.

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